离散型随机变量的分布列综合测试题（附答案）
详细内容
选修2-3 2.1.2.第二课时 离散型随机变量的分布列2
一、选择题
1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( )
A.
ξ101
P14
12
14
B.
ξ012
P－14
34
12
C.
ξ012
P15
25
35
D.
ξ－101
P14
14
12
[答案] D
[解析] 本题考查分布列的概念与性质．
即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，
i＝1nP(ξi)＝1.
A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－14<0，
C中i＝13P(ξi)＝15＋25＋35＝65>1.
2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是( )
A．P(ξ＝0) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝1) D．P(ξ＝2)
[答案] C
[解析] 即取出白球个数为1的概率．
3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝( )
A.316 B.14
C.116 D.516
[答案] A
[解析] P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝123＋124＝316.
4．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜ξ＜52则值为( )
A.23 B.34
C.45 D.56
[答案] D
[解析] c1×2＋c2×3＋c3×4＋c4×5
＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15
＝45c＝1.∴c＝54.
∴P12＜ξ＜52＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝5411×2＋12×3＝56.
5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
[答案] B
[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．
6．(2010•东营)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(ξ＝2)＝( )
A.19 B.16
C.13 D.14
[答案] C
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a＝1，∴62a＝1，即a＝3，
∴P(ξ＝2)＝1a＝13.
7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( )
A.1120 B.724
C.710 D.37
[答案] B
[解析] P＝C37•C03C310＝724.
8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是( )
A.15 B.14
C.25 D.35
[答案] C
[解析] P＝2A44A55＝25.
二、填空题
9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：
ξ012
P
[答案] 15 35 15
10．随机变量ξ的分布列为：
ξ012345
P19
215
745
845
15
29
则ξ为奇数的概率为________．
[答案] 815
11．(2010•常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．
[答案] 56
12．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝________.
[答案] 12
[解析] 依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝12P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列性质得
1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)
4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝14.P(ξ＝3)＝18.
∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝12.
三、解答题
13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
[解析] ξ可能取的值为0、1、2、…、10.由题意知P(ξ＝m)
＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、…、10)，∴ξ的分布列为
ξ01…k…10
PC010C1040C1050
C110C940C1050
…Ck10C10－k40C1050
…C1010C040C1050
14.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X)≥35；
(3)求P110＜X＜710.
[分析] 分布列有两条重要的性质：Pi≥0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X≥35或110
(2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)
解法一：PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；
解法二：PX≥35＝1－PX＝15＋PX＝25
＝1－115＋215＝45.
(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故
P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35
＝115＋215＋315＝25.
15．(2009•福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布．
[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.
(2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5，
P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，
P(ξ＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，
P(ξ＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，
P(ξ＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.
所以随机变量ξ的概率分布为：
ξ2345
P130
215
310
815
16.(2010•福建理，16)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．
解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．
(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.
且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.
故ξ的分布列为：
ξ0149
P16
13
13