高二数学选修1-1模块测试题（2013北师大版带答案和解释）
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(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1 .(2012•辽宁高考)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则?p是( )
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
【解析】 命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
【答案】 C
2 .抛物线x2＝－8y的焦点坐标为( )
A．(0，2) B．(0，－2)
C．(0，4)D．(0，－4)
【解析】 由定义可得焦点坐标为(0，－2)．
【答案】 B
3 .曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9B．－3
C．9D．15
【解析】 y′＝3x2，故曲线在点P(1，12)处的切线斜率是3.
切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.
【答案】 C
4 .a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)•(xb－a)为一次函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 f(x)＝x2a•b＋(b2－a2)x－a•b为一次函数?a⊥b，且|a|≠|b|.
【答案】 B
5 .已知双曲线的焦点在y轴上，其渐近线与直线y＝±2x垂直，则其离心率为( )
A.5 B.55
C.52 D.255
【解析】 设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，
则渐近线为y＝±abx，
∵渐近线与直线y＝±2x垂直，
∴ab＝12.
∴e＝ca＝a2＋b2a＝1＋（ba）2＝5.故选A
【答案】 A
6 .(2013•浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
图
【解析】 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
【答案】 B
7 .(2012•山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】 若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0
【答案】 A
8 .对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21D．a＝0或a＝21
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，
当Δ＝4a2－84a≤0，
即0≤a≤21时，
f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
【答案】 A
9 .(2012•福建高考)已知双曲线x24－y2b2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A.5B．42
C．3D．5
【解析】 ∵抛物线的焦点是F(3，0)，
∴双曲线的半焦距c＝3，
∴4＋b2＝32，解得b＝5，
故双曲线的渐近线方程为y＝±52x，
从而双曲线的焦点到其渐近线的距离为5.
【答案】 A
10 .设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4xB．y2＝±8x
C．y2＝4xD．y2＝8x
【解析】 a>0时，F(a4，0)，直线l的方程为y＝2(x－a4)，
令x＝0得y＝－a2.
∴S△OAF＝12•a4•|－a2|＝4.解得a＝8.
同理a<0时，得a＝－8.
∴抛物线的方程为y2＝±8x.
【答案】 B
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)
11 .命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题有________个，真命题有________个．
【解析】 在四种命题中，真命题(或假命题)的个数总是偶数0或2或4，本题的原命题是假命题，因此它的逆否命题也是假命题，逆命题“可以被9整除的正整数的各位数字之和是3的倍数”是真命题，因此，否命题也是真命题．
【答案】 2 2
12 .要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为________．
【解析】 设圆锥的高为h cm，
∴V＝13π(400－h2)h，
∴V′＝13π(400－3h2)，令V′＝0，得h2＝4003，
∴h＝2033.
【答案】 2033cm
13 .以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】 本题需分类讨论．
①当以△ABC的两个锐角顶点为焦点时，由题意得b＝c，即a2＝2c2，
∴离心率e＝22.
②当以∠ABC的直角顶点和一锐角顶点为焦点时，由题意得：2c＝b2a，
即c2＋2ac－a2＝0.
即e2＋2e－1＝0，
∴e＝2－1.
【答案】 22或2－1
14 .与直线x＋2y＋3＝0垂直，且与抛物线y＝x2相切的直线方程为________．
【解析】 ∵y′＝2x，与直线x＋2y＋3＝0垂直的直线的斜率为2，令y′＝2，得x＝1，即切点为(1，1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
【答案】 2x－y－1＝0
15 .(2012•辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【解析】 不妨设点P在双曲线的右支上；
因为PF1⊥PF2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(22)2，
又|PF1|－|PF2|＝2，
所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|•|PF2|＝4，
则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|•|PF2|＝12，
所以|PF1|＋|PF2|＝23.
【答案】 23
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16 .(12分)已知命题p：－2<1－a3<2，命题q：集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}且A∩B＝?，求使命题p，q中有且只有一个真命题时，实数a的取值范围．
【解】 命题p为真命题时，解得－5
当Δ<0时，A＝?满足A∩B＝?，
此时求得－4
且A∩B＝?，
设x2＋(a＋2)x＋1＝0的两根为x1，x2，则
Δ＝（a＋2）2－4≥0，x1＋x2＝－（a＋2）<0，得a≥0.x1•x2＝1>0，
综上，a>－4，
即命题q为真命题时a>－4.
若p真q假，则－5
∴所求a的取值范围为(－5，－4]∪[7，＋∞)．
17 .(12分)(2012•北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
【解】 f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
∵曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，∴f′（1）＝g′（1）f（1）＝g（1），
即2a＝3＋ba＋1＝1＋b＝c，解得a＝3b＝3.
∴a，b的值分别为3，3.
18 .(12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32，x∈N*.
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)为获得最大盈利额，该厂的日产量应为多少件？
【解】 (1)T(x)＝x•3x4x＋32•(－100)＋x•(1－3x4x＋32)•200＝－100x2＋6 400x4x＋32＝－25（x2－64x）x＋8，x∈N*.x
(2)T′(x)＝－25（x2＋16x－512）（x＋8）2，令T′(x)＝0，得x＝－32或16.因为x>0，所以x＝16为唯一的极大值点，根据实际问题，它为最大值点，即当日产量为16件时，获得最大盈利额，为800元．
19 .(13分)(2012•四川高考)如图2，动点M与两定点A(－1，0)，B(1，0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程．
图2
【解】 设点M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在．
于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的斜率为yx＋1，直线MB的斜率为yx－1.由题意得yx＋1•yx－1＝4，化简得x2－y24＝1.
因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－y24＝1(y≠0)．
20 .(13分)(2013•课标全国卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
【解】 (1)当a＝－2时，
f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－62x＋3.
令f′(x)＝0，
得x1＝2－1，x2＝2＋1.
当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；
当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数；
当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0得a≥－54.
当a≥－54，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3x2－52x＋1
＝3x－12(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是－54，＋∞.
21 .(13分)(2012•北京高考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．
【解】 (1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，
解得b＝2，
所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.
(2)由y＝k（x－1）x24＋y22＝1，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，
y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝4k21＋2k2，
x1x2＝2k2－41＋2k2，
所以|MN|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2
＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝2（1＋k2）（4＋6k2）1＋2k2.
又点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|•d＝|k|4＋6k21＋2k2.
由|k|4＋6k21＋2k2＝103，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.