高二数学下册同步检测训练及答案

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同步检测训练
一、选择题
1．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°
B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝72，b＝50，A＝135°
D．a＝30，b＝40，A＝26°
解析：在A中，sinB＝basinA＝1，∴B＝π2；
在B中，sinB＝ba•sinA＝512，
∴B≈24.6°或B＝155.4°，但A＝150°，
∴B≠155.4°；
同理在C中，由于A＝135°>90°，
∴它不可能有两解；
在D中，sinB＝basinA≈0.58449，
∴B＝35.76°或B≈144.24°，且144.24°＋26°<180°.
故选D.
答案：D
2．在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A．asinA＝bsinB　　　　　B．acosA＝bcosB
C．asinB＝bsinA D．acosB＝bcosA
解析：∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴a•sinB＝2RsinA•sinB，
b•sinA＝2RsinA•sinB，
∴a•sinB＝b•sinA.
答案：C
3．已知△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得(　　)
A．一解 B．两解
C．无解 D．解的个数不确定
解析：由正弦定理得
bsinB＝csinC，∴43sinB＝2sin30°，
∴sinB＝3>1，∴不可能．∴无解．故选C.
答案：C
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．2解析：∵△ABC有两解，∴a>b且b>asinB，
∴x>2，2>xsin45°，∴2答案：C
5．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对边的长是46，那么120°角所对边的长是(　　)
A．4 B．123
C．43 D．12
解析：由正弦定理可得所求边长为46sin45°×sin120°＝12，故选D.
答案：D
6．在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是(　　)
A．一解 B．两解
C．一解或两解 D．无解
解析：∵ab•sin45°＝502，有两解，故选B.
答案：B
7．在△ABC中，a＝2bcosC，则该三角形一定为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：∵a＝2bcosC，
∴sinA＝2sinBcosC，
∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，
sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，
sinBcosC－cosBsinC＝0，
∴sin(B－C)＝0，
∴B＝C，故选A.
答案：A
8．在△ABC中，若sinAa＝cosBb＝cos，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
解析：∵sinAa＝cosBb＝cos，
∴1＝sinAsinA＝cosBsinB＝cosCsinC，
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，
∴B＝C＝π4，A＝π2.故选C.
答案：C
9．在△ABC中，已知b＋c＝m，∠B＝α，∠C＝β，则a等于(　　)
A.msinαsinα＋sinβ B.msinβsinα＋sinβ
C.mcosα＋βsinα＋sinβ D.msinα＋βsinα＋sinβ
解析：∵asinA＝bsinB＝csinC，
∴asinA＝b＋csinα＋sinβ，
又sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(α＋β)，
∴a＝msinα＋βsinα＋sinβ，故选D.
答案：D
10．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　)
A.32 B.3
C．33 D．3
解析：b＝csinC•sinB＝2sin180°－30°－120°•sin120°＝23，S△ABC＝12bcsinA＝12×23×2×12＝3.故选B.
答案：B
二、填空题
11．在△ABC中，a＝5，b＝7，∠B＝60°，则c＝________.
解析：∵asinA＝bsinB，
∴5sinA＝7sin60°，∴sinA＝5314，
∵a∴cosA＝1－sin2A＝1114，
∴sinC＝sin(A＋B)
＝5314×cos60°＋1114×sin60°＝437，
∴由bsinB＝csinC，得c＝7sin60°×437＝8.
答案：8
12．在△ABC中，若b＝2asinB，则A＝________.
解析：∵b＝2asinB，
∴sinB＝2sinAsinB，
∴sinB(2sinA－1)＝0且sinB≠0.
∴sinA＝12，∴A＝30°或150°.
答案：30°或150°
13．如图，在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝________.

解析：由正弦定理asinA＝csinC
得sinC＝csinAa＝5×sin120°7＝57×32＝5314.
∵A为钝角，∴C为锐角．
∴cosC＝ 1－53142＝1114.
∴sinB＝sin(60°－C)＝sin60°cosC－cos60°sinC
＝32×1114－12×5314＝3314.
∴S△ABC＝12acsinB＝12×5×7×3143＝1543.
答案：1534
14．在△ABC中，∠A满足条件3sinA＋cosA＝1，AB＝2 cm，BC＝23 cm，则∠A＝________，△ABC的面积等于________cm2.
解析：由3sinA＋cosA＝1，
得2sin(A＋π6)＝1，A＝23π.
由BCsinA＝ABsinC得sinC＝AB•sinABC＝2×3223＝12，C＝π6，则B＝π6，S＝12AB×BCsinB＝3(cm2)．
答案：23π　3
三、解答题
15．在平行四边形ABCD中，AC＝10，∠BAC＝75°，∠CAD＝60°，求AB.
解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝60°，
∵∠DAB＝∠BAC＋∠CAD＝135°，
∴∠ABC＝45°.
在△ABC中，ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，
∴AB＝10sin45°×sin60°＝56.
16．(2009•天津卷)在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A－π4)的值．
解析：(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA.
于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.
(2)在△ABC中，根据余弦定理，
得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB•AC＝255.
于是sinA＝1－cos2A＝55.
从而sin2A＝2sinAcosA＝45，
cos2A＝cos2A－sin2A＝35.
所以sin(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.
17．在△ABC中，a＝10，b＝56，A＝45°，解这个三角形．
解析：由asinA＝bsinB得10sin45°＝56sinB，
∴sinB＝32，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－A－B＝75°.
由asinA＝csinC，得c＝10sin45°×sin75°＝53＋5.
当B＝120°时，C＝180°－A－B＝15°.
由asinA＝csinC，得c＝10sin45°×sin15°＝5(3－1)．
18．(1)△ABC中，a＋b＝6＋63，A＝30°，B＝60°，求边长c；
(2)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，边c.
解析：(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC及C＝180°－30°－60°＝90°，得a＋bsinA＋sinB＝csinC，
即6＋6312＋32＝c1，∴c＝12.
(2)∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
又由正弦定理得，c＝asinCsinA＝20sin45°sin30°＝202，
b＝asinBsinA＝20sin105°sin30°＝10(6＋2)．
∴B＝105°，b＝10(6＋2)，c＝202.