上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期末试卷及答案

详细内容

上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期末试卷
（满分150分，120分钟完成。答案一律写在答题纸上）
命题：陈海兵 审核：杨逸峰
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.如果复数 （其中 为虚数单位），那么 （即 的虚部）为__________。
2.在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 （用数字作答）.
3.顶点在原点，以 轴为对称轴且经过点 的抛物线的标准方程为____________．
4.双曲线 的一个焦点是 ，则 的值是__________．
5.已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同。则双曲线的方程为 。
6.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：
成绩（分）506173859094
人数221212
则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）.
7.某展室有9个展台，现有 件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用 个展台，并且 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；
8.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.
9.若 且 ，则 的最大值是_______.
10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.
11.△ABC的三个顶点A、B、C到平面 的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面 的同侧，则△ABC的重心到平面 的距离为___________。
12.过点 且与双曲线 只有一个公共点的直线有 条。
13.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到 的距离为_________.
14.如图，平面 ⊥平面 ， ∩ = ，DA ，BC ，且DA⊥ 于A，BC⊥ 于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面 内不在 上的动点P，记PD与平面 所成角为 ，PC与平面 所成角为 ，若 ，则△PAB的面积的最大值是 。
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.
15.下列四个命题：
①满足 的复数只有 1, I;
②若a,b是两个相等的实数,则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数;
③|z+ |=2|z|;
④复数z R的充要条件是z= ;
其中正确的有（ ）
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
16.平面 ，直线 ， ，且 ，则 与 （　　）
A. 　　　　B. 与 斜交　　　　C. 　　　D.位置关系不确定
17.在正方体 的侧面 内有一动点 到直线 与直线 的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为 ( )

18.已知点 及抛物线 ，若抛物线上点 满足 ，则
的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题
19.（本题满分12分）第一题满分5分，第二题满分7分．
已知复数 ， =2， 是虚部为正数的纯虚数。
（1）求 的模；（2）求复数 。

20.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分．
已知 ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 中含 项的系数；

21.（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分．
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将4张扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设 分别表示甲、乙抽到的牌的数字（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字不比乙大，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

22.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分．
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线 相切。
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且倾斜角为 的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线 上的射影是 。求梯形 的面积；
（3）若点C是（2）中线段 上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。

23.（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．
如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A1BC被一平面DEE1D1所截，若平面DEE1D1分别交AB,AC,A1B,A1C于点D,E,D1,E1。
（1）讨论这三条交线ED,CB, E1 D1的关系。
（2）当BC//平面DEE1D1时,求 的值;

（3）当BC不平行平面DEE1D1时, 的值变化吗？为什么？

上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期
高二数学期末试卷
（满分150分，120分钟完成。答案一律写在答题纸上）
命题：陈海兵 审核：杨逸峰
一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
24.如果复数 （其中 为虚数单位），那么 （即 的虚部）为__________。
25.在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 （用数字作答）.28
26.顶点在原点，以 轴为对称轴且经过点 的抛物线的标准方程为____________．
27.双曲线 的一个焦点是 ，则 的值是__________．－2
28.已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同。则双曲线的方程为 。
29.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：
成绩（分）506173859094
人数221212
则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）. 17.60
30.某展室有9个展台，现有 件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用 个展台，并且 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；60
31.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.
32.若 且 ，则 的最大值是_______. 4
33.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为____________米. 6.5 m米

34.△ABC的三个顶点A、B、C到平面 的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面 的同侧，则△ABC的重心到平面 的距离为___________。3,
35.过点 且与双曲线 只有一个公共点的直线有 条。4
36.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到 的距离为_________.
37.如图，平面 ⊥平面 ， ∩ = ，DA ，BC ，且DA⊥ 于A，BC⊥ 于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面 内不在 上的动点P，记PD与平面 所成角为 ，PC与平面 所成角为 ，若 ，则△PAB的面积的最大值是 。12

由条件可得：PB=2PA，即P到B的距离为到A的距离的2倍
在平面 内以AB为 轴，AB的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系
设P（ ， ）则 =
∴ = ∴ +27=0
∴ ∴ =16
∴平面 内P点轨迹为以（ ，0）为圆心，4为半径的圆（与 轴的交点除外）
∴高的最大值为4， ∴面积的最大值为 =12
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.
38.下列四个命题：
①满足 的复数只有 1, i;
②若a,b是两个相等的实数,则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数;
③|z+ |=2|z|;
④复数z R的充要条件是z= ;
其中正确的有（ ）B
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
39.平面 ，直线 ， ，且 ，则 与 （　　）D
A. 　　　　B. 与 斜交　　　　C. 　　　D.位置关系不确定
40.在正方体 的侧面 内有一动点 到直线 与直线 的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为 ( ) B

41.已知点 及抛物线 ，若抛物线上点 满足 ，则
的最大值为（ ）C
（A） （B） （C） （D）
三、解答题
42.（本题满分12分）第一题满分5分，第二题满分7分．
已知复数 ， =2， 是虚部为正数的纯虚数。
（1）求 的模；（2）求复数 。
解：（1）| |=| || |=| || | =8；
（2） 是虚部为正数的纯虚数
∴ =
= = =
设复数 = （ ）

解之得 或
∴
43.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分．
已知 ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 中含 项的系数；
解：（1）因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 （1）
（2）
（1）-（2）得：
所以：
（2）因为 ，
所以
中含 项的系数为
44.（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分．
甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将4张扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设 分别表示甲、乙抽到的牌的数字（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字不比乙大，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’, 2）、（4’，3）（4’，4）
共12种不同情况
(没有写全面时：只写出1个不给分，2―4个给1分，5―8个给2分，9―11个给3分)
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率 ，乙获胜的概率为
此游戏不公平。
45.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分．
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线 相切。
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且倾斜角为 的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线 上的射影是 。求梯形 的面积；
（3）若点C是（2）中线段 上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。
解: （1）曲线M是以点P为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为 .
（2）由题意得，直线AB的方程为 消y得

于是， A点和B点的坐标分别为A ，B（3， ），
所以 ，

（3）设C（－1，y）使△ABC成直角三角形，
，
，
.
(i) 当 时，
方法一：当 时， ，
即 为直角. C点的坐标是
方法二：当 时，得直线AC的方程为 ，
求得C点的坐标是 。
(ii) 因为 ，所以， 不可能为直角.
(iii) 当 时，
方法一：当 时， ，
即 ，解得 ，此时 为直角。
方法二：当 时，由几何性质得C点是 的中点，即C点的坐标是 。
故当△ABC为直角三角形时，点C的坐标是 或
46.（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．
如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A1BC被一平面DEE1D1所截，若平面DEE1D1分别交AB,AC,A1B,A1C于点D,E,D1,E1。
（1）讨论这三条交线ED,CB, E1 D1的关系。
（2）当BC//平面DEE1D1时,求 的值。

（3）当BC不平行平面DEE1D1时, 的值变化吗？为什么？

（1）互相平行或三线共点。
当BC//平面DEE1D1时，
平面ABC 平面DEE1D1=ED
BC// ED,同理CB// E1 D1
∴ED//CB// E1 D1
当BC不平行平面DEE1D1时,
延长ED、CB交于点H，
∴H∈EF ∵EF 平面DEE1D1 ∴H∈平面DEE1D1
同理H∈平面A1BC
∴H∈平面DEE1D1∩平面A1BC
即H∈E1D1 ∴E1、D1、H三点共线
∴三线共点
（2）解：∵BC//平面DEE1D1
且BC 平面ABC，平面ABC∩平面DEE1D1=ED
∴BC∥ED，同理BC∥E1D1
在△ABC中，BC∥ED
∴ = 同理可得 =
∴ = =1
（3）解：

由（1）可得，延长ED、CB、E1D1交于点H，
过点B作BF∥AC，BG∥A1C
∵BF∥AC ∴ =
同理可得 =
在△HCE中，BG∥CE1 ∴ =
同理可得 =
∴ = = = = =1
的值不变化，仍为1