高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）

详细内容

学案22　简单的三角恒等变换
导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．

自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝________________；
(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan 2α＝________________________ (α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．
2．公式的逆向变换及有关变形
(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；
(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；
变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________________.
自我检测
1．(2010•陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 (　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 (　　)
A．－3,1B．－2,2
C．－3，32D．－2，32
3．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 (　　)
A．－1B．－12C.12D．1
4．(2011•清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A•sin B (　　)
A．有最大值12，最小值0
B．有最小值12，无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．有最大值12，无最小值

探究点一　三角函数式的化简
例1 　求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

变式迁移1　(2011•泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.
(1)求f－11π12的值；
(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

探究点二　三角函数式的求值
例2 　已知sin(π4＋2α)•sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tan α－1tan α－1的值．

变式迁移2　(1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．

探究点三　三角恒等式的证明
例3 　(2011•苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．

变式迁移3　求证：sin 2xsin x＋cos x－1sin x－cos x＋1
＝1＋cos xsin x.

转化与化归思想的应用
例 　(12分)(2010•江西)已知函数f(x)＝
1＋1tan xsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；
(2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值．
【答题模板】
解　(1)当m＝0时，f(x)＝1＋cos xsin xsin2x
＝sin2x＋sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x2
＝122sin2x－π4＋1，[3分]
由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]
所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]
从而得f(x)的值域为0，1＋22.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－m2cos 2x
＝1－cos 2x2＋12sin 2x－m2cos 2x
＝12[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋12，[8分]
由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α＝45，
cos 2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]
所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．

1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011•平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 (　　)
A.13B．－13C.16D．－16
2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于 (　　)
A.1318B.1322C.322D.16
3．(2011•石家庄模拟)已知cos 2α＝12 (其中α∈－π4，0)，则sin α的值为 (　　)
A.12B．－12C.32D．－32
4．若f(x)＝2tan x－2sin2x2－1sin x2cos x2，则fπ12的值为 (　　)
A．－433B．8
C．43D．－43
5．(2010•福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是 (　　)
A.12B.22C.32D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010•全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.
7．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
8．若cos 2αsinα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；
(2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.

10．(12分)(2011•南京模拟)设函数f(x)＝3sin xcos x－cos xsinπ2＋x－12.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．

11．(14分)(2010•北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f(π3)的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．

答案 自主梳理
1．(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α
(3)2tan α1－tan2α　2.(1)12sin 2α　(2)1－cos 2α2　1＋cos 2α2　2cos2α2　2sin2α2　(sin α±cos α)2
自我检测
1．C　2.C　3.B　4.D
课堂活动区
例1 　解题导引　化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解　y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin 2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1　解　(1)f(x)
＝1＋cos 2x2－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x
＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x
＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos 2x＝2cos 2x，
∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cos π6＝3.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin2x＋π4.
∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，
∴当x＝π8时，g(x)max＝2，
当x＝0时，g(x)min＝1.
例2 　解题导引　(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解　由sin(π4＋2α)•sin(π4－2α)
＝sin(π4＋2α)•cos(π4＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14，
∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，
∴2sin2α＋tan α－1tan α－1
＝－cos 2α＋sin2α－cos2αsin αcos α
＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α
＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.
变式迁移2　解　(1)∵α是第一象限角，cos α＝513，
∴sin α＝1213.
∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sin α＋cos αcos 2α
＝22sin α＋cos αcos2α－sin2α
＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.
(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcosπ4－sin 2αsinπ4
＝22(cos 2α－sin 2α)，
∵π2≤α<32π，
∴3π4≤α＋π4<74π.
又cos(α＋π4)＝35>0，
故可知32π<α＋π4<74π，
∴sin(α＋π4)＝－45，
从而cos 2α＝sin(2α＋π2)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2425.
sin 2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝725.
∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)
＝－31250.
例3 　解题导引　本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明　由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)解　由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
(3)解　∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0<α≤π3，0设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时取“＝”)．
故函数f(x)的值域为(0，24]．
变式迁移3　证明　因为左边＝
2sin xcos x[sin x＋cos x－1][sin x－cos x－1]
＝2sin xcos xsin2x－cos x－12
＝2sin xcos xsin2x－cos2x＋2cos x－1
＝2sin xcos x－2cos2x＋2cos x＝sin x1－cos x
＝sin x1＋cos x1－cos x1＋cos x
＝sin x1＋cos xsin2x＝1＋cos xsin x＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
1．D　[∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，
∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.]
2．C　[因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，
所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.
所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4
＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]
3．B　[∵12＝cos 2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，
∴sin α＝－12.]
4．B　[f(x)＝2tan x＋1－2sin2x212sin x＝2tan x＋2cos xsin x
＝2sin xcos x＝4sin 2x
∴fπ12＝4sin π6＝8.]
5．C　[由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cos B＋1＝0，
∴cos B＝12或cos B＝1(舍)．
∴sin B＝32.]
6．－247
解析　因为α为第二象限的角，又sin α＝35，
所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，
所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247.
7．1－2
解析　∵y＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，
∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－2.
8.12
解析　∵cos 2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sin α－cos α
＝－2(sin α＋cos α)＝－22，
∴cos α＋sin α＝12.
9．解　(1)∵sin 2α＝2sin αcos α，
∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin 40°2sin 20°•sin 80°2sin 40°•12•sin 160°2sin 80°
＝sin180°－20°16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos22α－13＋4cos 2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分)
＝1－cos 2α21＋cos 2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解　f(x)＝3sin xcos x－cos xsinπ2＋x－12
＝32sin 2x－12cos 2x－1
＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.
所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)有最小值－32.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解　(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3
＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1
＝3(cos x－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因为cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝23时，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)