2011届高考数学考点知识专题总复习导数的概念及应用

详细内容

课时考点2 导数的概念及应用

高考考纲透析：（理科）
(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
（文科）
(1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几何意义。(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。
高考风向标：

导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

高考试题选：

1.设 是函数 的导函数，
的图象如图所示，则 的图象最有可能
的是（ ）

2. 设曲线 ≥0）在点M（t,e--t）处的切线 与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.
（Ⅰ）求切线 的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.

3. 已知a为实数， ，（Ⅰ）求导数 ；
（Ⅱ）若 ，求 在[--2，2] 上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 在（―∞，―2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.

热点题型1:　函数的最值

已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

变式新题型1：
已知 的最大值为3，最小值为 ，求 的值。

解题分析：对 的符号进行分类讨论，比较区间端点函数值及极值点的大小。

热点题型2:　函数的极值

已知函数 在 处取得极值.
（1）讨论 和 是函数 的极大值还是极小值；
（2）过点 作曲线 的切线，求此切线方程.
（1）解： ，依题意， ，即

解得 . ∴ .
令 ，得 .
若 ，则 ，故
在 上是增函数，
在 上是增函数.
若 ，则 ，故 在 上是减函数.
所以， 是极大值； 是极小值.
（2）解：曲线方程为 ，点 不在曲线上.
设切点为 ，则点M的坐标满足 .
因 ，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得 ，解得 .
所以，切点为 ，切线方程为 .

变式新题型2：

已知 和 若 在点 处有极值，且曲线 和 在交点（0,2）处有公切线。（1）求 的值，（2）求 在R上的极大值和极小值。

解题分析：关健点是：曲线 和 在交点（0,2）处有公切线构造两个方程。

热点题型3:　函数的单调性

(理科)已知函数 的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

简明答案：
（Ⅰ） ；　 （Ⅱ） 在 和 上是减函数，在 上是增函数。

（文科）已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 .（Ⅰ）求函数 的解析式；（Ⅱ）求函数 的单调区间.
简解：（Ⅰ） ，
（Ⅱ） 在 和 上是增函数，在 上是减函数。

变式新题型3：

已知函数 的图象经过点（0,1），且在 处的切线方程是 ，（1）求 的解析式；（2）求 的单调递增区间。

解题分析：关健点是：在 处的切线方程是 构造两个方程。

热点题型4:　分类讨论在导数中应用

已知 ，函数 。
（1）当 时，求使 成立的 的集合；
（2）求函数 在区间 上的最小值。
解：（1）由题意，
当 时， ，解得 或 ；
当 时， ，解得
综上，所求解集为 ；
（2）设此最小值为
①当 时，在区间 上，
因为
则 是区间 上的增函数，所以 ；
②当 时，在区间 上， ，则 知
；
③当 时，在区间 上， ，
若 ，在区间 内 ，从而 为区间 上的增函数，由此得：
；
若 ，则
当 时， ，从而 为区间 上的增函数；
当 时， ，从而 为区间 上的减函数
因此，当 时， 或 ；
当 时， ，故
当 时， ，故
综上所述，所求函数的最小值
变式新题型4：

已知 ，求函数 的单调区间。

备选题：
已知a > 0，函数f (x) = x3 ? a，x∈[0，+ ．设x1 > 0，记曲线y = f (x)在点M (x1，f (x1))处的切线为l．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）．证明：
（?）x2≥ ；（?）若x1> ，则 < x2 < x1．
（Ⅰ）解：求f (x)的导数： (x) = 3x2，由此得切线l的方程：
y ? ( ) = 3 ．
（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y = 0，
x2 = x1 ? ，
（?） = ≥0，
所以 x2≥ ，当且仅当x1 = 时等号成立．
（?）若x1 > ，则 ，且由（?）x2 > ，
所以 < x2 < x1．