高一数学上册模块综合过关训练试题及答案
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3．3．2
一、选择题
1．将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为( )
[答案] C
[解析] ∵0≤a1≤1，∴0≤8a1≤8，
∴－2≤8a1－2≤6.
2．小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币，已知她的钱包中有1分、2分币各两枚，5分币3枚，则她取出的币值正好是7分的概率是( )
A.17 B.27
C.37 D.47
[答案] B
[解析] 共有取法6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，其中币值正好为7分的必有一枚5分币，故有3×2＝6种，∴概率P＝621＝27.
3．从正六棱锥P－ABCD的侧棱和底边共12条棱中任取两条，能构成异面直线的概率为( )
A.111 B.211
C.411 D.811
[答案] C
[解析] 共能组成11＋10＋9＋…＋1＝66对，其中为异面直线的有6×4＝24对(∵侧棱都共面，底面多边形的边当然共面，∴异面的只有一条侧棱和底面的一条边的情形，一侧棱可与底面多边形的4条边构成异面直线)，∴P＝2466＝411.
4．在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于1的概率为( )
A.13 B.19
C.127 D.34
[答案] C
[解析] 在正方体内到各面的距离都大于1的点的集合是以正方体的中心为中心、棱长为1的正方体，所以所求概率P＝V小正方体V大正方体＝133＝127.
5．某人利用随机模拟方法估计π的近似值，设计了下面的程序框图，运行时，从键盘输入1000，输出值为788，由此可估计π的近似值约为( )
A．0.788 B．3.142
C．3.152 D．3.14
[答案] C
[解析] 由条件知，投入1000个点(a，b)，－1≤a≤1，－1≤b≤1，其中落入x2＋y2≤1内的有788个．
∵圆面积正方形面积＝π4，
∴π4≈7881000，∴π≈3.152.
6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S3的概率为( )
A.13 B.23
C.19 D.49
[答案] B
[解析] 如图所示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E，
对于事件W＝“△PBC的面积大于S3”，有12•BC•PE>13•12•BC•AD，即PE>13AD，∴BP>13AB，
∴由几何概型的概率计算公式得P(W)＝23ABAB＝23.
7．利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线y＝2x与x＝±1及x轴围成的图形的面积时，设计了如下算法：
设事件A为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S表示阴影部分的面积．
S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足－1
S2：用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数y表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足y<2x，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行；
S5：S＝____①____；
S6：输出S，结束．
则①处应为( )
A．m B.mn
C．4m D.4mn
[答案] D
[解析] ∵阴影部分的面积为S，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P(A)＝S4.所以mn＝S4.
所以S＝4mn即为阴影部分面积的近似值．
8．下面是随机模拟掷硬币试验的程序框图．
其中a＝0表示正面向上，a＝1表示反面向上，则运行后输出的是( )
A．正面向上的频数
B．正面向上的频率
C．反面向上的频数
D．反面向上的频率
[答案] D
二、填空题
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率为______．
[答案] 712
[解析] 基本事件的总数为6×6＝36(个)，记事件A＝“点P(m，n)落在圆x2＋y2＝25外”，即m2＋n2>25，当m取1、2、3时，n只能取5或6，有2×3＝6种；当m取4时，n只能取4、5、6有3种；当m取5或6时，n可取1至6的任何值，有2×6＝12种．
∴事件A包含的基本事件数共有6＋3＋12＝21个，
∴P(A)＝2136＝712.
10．任意一个三角形ABC的面积为S，D为△ABC内任取的一个点，则△DBC的面积和△ADC的面积都大于S3的概率为________．
[答案] 19
[解析] 在AB上取三等分点E、F，过点E作EM∥BC交AC于M，过点F作FN∥AC交BC于N，
则当点D在△AEM内时，满足S△DBC>S3，
在△BFN内时，满足S△DAC>S3，设EM与FN的交点为G，则当点D在△EFG内时，同时满足S△DBC>S3，S△DAC>S3，∴所求概率P＝S△EFGS△ABC＝19.
11．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是区间[0,4]内的数，则f(1)>0成立的概率是________．
[答案] 932
[解析] ∵0≤a≤4,0≤b≤4，∴点(a，b)构成区域为正方形OBDE及其内部，
∵f(1)＝－1＋a－b>0，
∴a－b>1，满足条件的点构成区域为△ABC及其内部，其中A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝92，所求概率P＝S△ABCS四边形OBDE＝924×4＝932.
三、解答题
12．向边长为2的正方形内投飞镖，用随机模拟方法估计飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．
[解析] 用几何概型概率计算方法可求得概率P＝S小正方形S大正方形＝14.
用计算机随机模拟这个试验步骤如下：
S1 用计数器n记录做了多少次飞镖试验，用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值n＝0，m＝0；
S2 用函数rand( )*4－2产生两组－2～2的随机数x，y，x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；
S3 判断(x，y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|<1，|y|<1，如果是则m的值加1，即m＝m＋1；否则m值保持不变；
S4 表示随机试验次数的记数器n的值加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回步骤S2，否则，程序结束．
程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率mn表示概率的近似值，全班同学一块试验，看频率是否在14附近波动，次数越多，越有可能稳定在14附近．
13．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min.用随机模拟方法估计乘客到达站台立即乘上车的概率．
[解析] 地铁列车每10min一班，在车站停1min可以看作在0～1min这个时间段内，车停在停车点，在1～11min这个时间段内行驶，乘客到达站台立即乘上车的条件是他在0～1min这个时间段内到达站台．
设事件A＝{乘客到达站台立即乘上车}．
S1 用计算机产生一组[0,1]区间的均匀随机数a1＝RAND；
S2 经过伸缩变换a＝11*a1
14．在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估计该正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率，并写出算法．
[解析] 正方形的面积只与边长有关，本题可以转化为在线段AB上任取一点M，使AM的长度介于6cm与9cm之间．
设事件A＝{正方形的面积介于36cm2与81cm2之间}
(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝a1*18;
算法为：
INPUT“n＝”；n
m＝0
DO
i＝1
a＝18*rand( )
15．如图，射击比赛使用的靶子是一个边长为50cm的正方形木板，由内到外画了五个同心圆，半径分别为5cm,10cm,15cm,20cm,25cm，由内到外依次为10环，9环，8环，7环，6环．某人在20m之外向此板射击，设击中线上或没有击中靶子时不算，可重新射击，假设击中靶子上任意位置的可能性相等．用随机模拟法估算下列概率：
(1)得到8环以上(包括8环)的概率；
(2)得到9环的概率；
(3)得到8环以下(不包括8环)的概率．
[解析] 设事件A＝“得到8环以上(包括8环)”，事件B＝“得到9环”，事件C＝“得到8环以下(不包括8环)”．
S1 用计算器产生两组[0,1]区间上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND……；
16．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝9－x2与x轴和y＝x围成的图形)的面积．
[解析] 设事件A为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩平移变换，x＝(x1－0.5)*6，y＝y1*9；
设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6＝54.由几何概率公式得P(A)＝S54.
所以，阴影部分面积的近似值为：S≈54N1N.
17．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝x与直线x＝2及x轴围成的图形)的面积．
[解析] 设事件A“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
S1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足y
S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y
程序结束后，事件A发生的频率mn作为事件A概率的近似值．
设阴影部分面积为S，正方形面积为4，则mn≈P(A)＝S4，
∴S≈4mn.